INTERESSE, TASSO D’INTERESSE E REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE: DEFINIZIONI FONDAMENTALI.

Nella valutazione di una operazione finanziaria assume particolare rilievo la necessità di determinare, per il debitore, il costo del finanziamento (che per il creditore rappresenterà specularmente il guadagno) sia in termini assoluti che relativi (percentuali). A tal proposito valgono le seguenti definizioni.

  1. Interesse. Data una somma C (capitale) ottenuta in prestito ed una somma M (montante) da restituire alla scadenza, T risulta in genere . Si definisce allora interesse la differenza seguente (formula 1.0):

  2. Tasso d’interesse. Per permettere di effettuare confronti tra importi (C ed M) di diverso ammontare, si definisce il tasso d’interesse, costituito dal rapporto tra l’ammontare totale degli interessi da corrispondere ed il capitale ottenuto in prestito (formula 1.1):  

  3. Tasso d’interesse effettivo periodale. Generalmente la restituzione del capitale C maggiorato degli interessi, ovvero la corresponsione di M, avviene in un’epoca diversa da quella in cui si ottiene il prestito, , con . Il tasso d’interesse risulta allora riferito esplicitamente al periodo (pari ad un mese, tre mesi, sei mesi, un anno etc.). In tal caso d’interesse prende il nome di tasso d’interesse effettivo periodale (mensile, trimestrale, semestrale, annuale). Il numero rappresenta allora il tasso d’interesse effettivo prodotto da ogni unità di capitale investito C, tra le epoche .

Per convenzione e per permettere il confronto tra operazioni di diverso ammontare attuate in epoche diverse, il tasso d’interesse effettivo è riferito in genere all’anno (tasso d’interesse effettivo annuo) o a frazioni intere dello stesso (semestre, trimestre, bimestre, mese).

  1. Fattore di capitalizzazione. E’ di fondamentale importanza definire le regole attraverso cui avviene l’incremento del capitale C al tasso nel periodo . Tale incremento avviene infatti secondo delle regole precise che, matematicamente parlando, è possibile esplicitare attraverso una funzione chiamata “fattore di capitalizzazione”, (o fattore di montante) definita attraverso il seguente schema:

Dalla (1.2) è possibile quindi esplicitare la seguente relazione:


La 1.3. definisce la legge di capitalizzazione o la “funzione fattore di montante” o “fattore di capitalizzazione. Sicché, risulta che il capitale C s’incrementa nel periodo secondo la seguente legge:

(1.4)

  1. Valore attuale. A partire dalla 1.4 è possibile conoscere il valore di C, ovvero il valore di M all’epoca . In tal caso si definisce quindi il valore attuale di M (che all’epoca è pari a C), attraverso la seguente relazione:

  1. Fattore di sconto. Specularmente alla 1.3 si definisce la funzione fattore di sconto, che attraverso la 1.5 risulta definita dalla seguente relazione:

Definite le funzioni fattori di sconto e fattori di montante a livello generale, resta ora da esplicitarne le principali proprietà matematiche. In generale esistono numerose funzioni definibili attraverso le 1.3 ed 1.6. Ogni classe di funzioni così definita prende il nome di “famiglia funzioni fattori di montate” e definisce un determinato regime di capitalizzazione. Per una disamina di queste problematiche, si rimanda ad una qualsiasi testo di matematica finanziaria almeno di livello universitario. Per ciò che qui interessa invece, si analizzeranno i due principali “regimi di capitalizzazione”, più utilizzati nella pratica finanziaria e commerciale: il regime d’interesse composto ed il regime dell’interesse semplice.

  1. Regime dell’interesse semplice. Si ipotizzi che, su una determinata somma prestata S, vengano periodicamente corrisposti degli interessi senza però che questi ultimi vengano a loro volta re-investiti nel periodo di tempo . In tal caso avremo definito una legge di capitalizzazione detta “regime dell’interesse semplice”, ovvero una funzione 1.3 così definita:

(1.7)

  1. Regime dell’interesse composto. Si ipotizzi ora una serie di scadenze intermedie con e si ipotizzi che gli interessi via via corrisposti per ogni scadenza vengano a loro volta re-investiti al medesimo tasso per cui si avrà una successione definita nel modo seguente:

(1.8)

Si noti che, ponendo , la 1.8 si può riscrivere come ed in tal caso è evidente che essa coincide con la 1.7 solo per periodi unitari, ovvero per mentre in generale risulta per

  1. Tassi periodali equivalenti. In generale, non è detto che un’operazione finanziaria abbia durata unitaria rispetto al periodo di riferimento (che in genere è l’anno solare, composto di 365gg.). In tal caso, dato un tasso riferito all’m-esimo periodo di anno, diventa necessario calcolare il tasso effettivo annuo. Il calcolo è differente nei due regimi di capitalizzazione semplice (lineare) e composta (esponenziale) per cui, si avrà rispettivamente le (1.9):

    1. per il regime d’interesse composto (1.9)

  2. Tassi nominali convertibili. Si definisce tasso nominale convertibile m volte l’anno il tasso seguente:

Dalla 1.10 sostituendo le 1.9 avremo le relazioni tra tassi nominali e tassi effettivi date rispettivamente da:

  • , nel regime della capitalizzazione semplice;

  • , nel regime della capitalizzazione composta; (1.11)

  1. Tasso annuo nominale e a tasso annuo effettivo. Molto spesso in contratto sono indicati i tassi d’interesse – debitori e creditori – in misura nominale annua. Tali tassi, in quanto tassi annui nominali, in virtù della capitalizzazione (anatocismo) delle competenze con cadenza infra-annuale, non coincidono con il tasso annuo effettivo. E’ quindi necessario ricavare il tasso annuo effettivo al fine di verificare la misura del tasso annuo effettivo.Ricordando che tra i due tassi (tasso nominale annuo e tasso effettivo annuo) sussiste la seguente rigida relazione matematica:

    dove “T.A.N.” è il tasso annuo nominale e “periodi di capitalizzazione” è un numero intero positivo pari al numero di volte in cui le competenze sono capitalizzate durante l’anno (es. se la capitalizzazione è trimestrale, periodi capitaliz.=4). Ad esempio, in un conto corrente con capitalizzazione trimestrale delle competenze, se il tasso annuo nominale debitore è fissato al 10%, il tasso annuo effettivo risulterà essere pari al 10,38%

    Stesso ragionamento può essere esteso ai mutui ed ai prestiti a rimborso graduale in generale. Ipotizzando un prestito ad un tasso fisso annuo nominale (T.AN.) del 10% con rate mensili, il corrispondente tasso annuo effettivo, sarà pari al 10,47%.

Osservazioni ai regimi di capitalizzazione.

E’ interessante notare che, in generale, il regime dell’interesse composto realizza la capitalizzazione integrale degli interessi (c.d. “anatocismo”), risulta essere più sfavorevole per il debitore ed in Italia è generalmente vietato ex art. 1283 c.c. e permesso, solo a certe condizioni, nei contratti di finanziamento bancario ex art. 120 del T.U.B. (testo unico bancario).  Anche se censurabile dal punto di vista etico (la capitalizzazione degli interessi fa aumentare in maniera esponenziale il debito), il regime dell’interesse composto possiede alcune peculiari proprietà matematiche (scindibilità e traslabilità) che lo rendono il più utilizzato nella pratica finanziaria. Questo in quanto esso è l’unico regime d’interesse che garantisce di poter stabilire, in ogni momento, l’equivalenza tra diverse operazioni finanziarie, di importi diversi e con scadenze ad epoche diverse, per cui il suo utilizzo nell’ambito moderna finanza, risulta fondamentale e quasi imprescindibile.