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Pubblicato il 10 agosto 2018

BREVE PREMESSA E INQUADRAMENTO NORMATIVO

i=\frac{M-C} C=\frac I C M>C I=M-C t_n>t_k t_n-t_k i\left(t_k,t_n\right) t_n-t_k t_0<t_{k-1}<t_k\ldots <t_n[/latex] [latex]t_n>t_{n-1}>t_k\ldots >t_0 i\left(t_k,t_n\right)=\frac{M-C} C=\frac M C-1=r\left(t_k,t_n\right)-1 r\left(t_k,t_n\right)=1+i\left(t_k,t_n\right) t_n-t_k C=M\frac1{r\left(t_n,t_k\right)} v\left(t_k,t_n\right)=\frac 1{r\left(t_n,t_k\right)}=\frac1{1+i\left(t_k,t_n\right)} t=t_n-t_k r\left(t_k,t_n\right)=1+i\left(t_k,t_n\right)=1+i(t) t_{k+\tau } t_k<t_{k+\tau }<,\ldots t_n[/latex] [latex]i\left(t_k,t_n\right)[/latex] [latex]r\left(t_k,t_n\right)=\left(1+i\left(t_k,t_{k+\tau }\right)\right){\bullet}\left(1+i\left(t_{k+\tau },t_n\right)\right)=\left(1{\text ~}+i\left(t_k,t_n\right)\right)^{t_n-t_k}[/latex] [latex]t_n-t_k=t[/latex] [latex]r\left(t\right)=\left(1{\text ~}+i\left(t\right)\right)^t[/latex] [latex]\left(1+i\left(t\right)\right)^t>\left(1+i\left(t\right)\right) v\left(t\right)=\left(1+i\left(t\right)\right)^{-t} C_1,C_2,\ldots,C_n t_o,t_1,\ldots ,t_n \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}C_k=S D_k=S-\overset k{\underset{i=1}{\sum }}C_i E_k=S-D_k D_n=0 e E_k=S i_k=i{\bullet}\frac 1 m R_k=C_k+I_k I_k=i_{k-1}{\bullet}D_{k-1}
NUOVE FORMULE S=\overset n{\underset{j=1}{\sum}}R_j(1+i)^{-j}=\overset n{\underset{j=1}{\sum }}R_jv^j D_k=\overset n{\underset{j=k+1}{\sum }}R_j\left(1+i\right)^{-(j-k)}=\overset n{\underset{j=k+1}{\sum}}R_jv^{j-k} S=(1+i)^{T-t_0} C(1+i)^n=\frac{1-v^n} i(1+i)^n=\frac{(1+i)^n-1} i=S_{n\neg i} C=R{\bullet}a_{n\neg i}=R{\bullet}\frac{1-v^n} i S=\overset n{\underset{j=1}{\sum }}R_j(1+i)^{-j}=\overset n{\underset{j=1}{\sum }}R_jv^j R=\frac C{a_{n\neg i}}=C{\bullet}\frac i{1-v^n}={\text ~}\frac{\left(1+i\right)^n}{\left(1+i\right)^n-1}{\bullet}i{\bullet}C=\left(1+\frac1{\left(1+i\right)^n-1}\right){\bullet}i{\bullet}C \frac{1-v^n} i=a_{n\neg i}=\left(\frac{1-\left(1+i\right)^{-n}} i\right) D_k=R{\bullet}\overset n{\underset{j=k+1}{\sum }}v^{j-k}=S{\bullet}\frac i{1-v^n}{\bullet}\frac{1-v^{n-k}} i=S{\bullet}\frac{1-v^{n-k}}{1-v^n} R_k=C_k+I_k I_k=D_{k-1}{\bullet}i\left(t_{k-1},t_k\right) \ddot S_{n\neg i}=\frac{(1+i)^n-1} i{\bullet}\left(1+i\right) S=\overset n{\underset{j=1}{\sum }}R_j(1+i)^{-j}=\overset n{\underset{j=1}{\sum }}R_jv^j C=R{\bullet}\ddot a_{\neg i}=R{\bullet}\frac{1-v^n} i{\bullet}{\text ~}\left(1+i\right) R=\left(1+\frac 1{\left(1+i\right)^n-1}\right){\bullet}i{\bullet}C{\bullet}\left(\frac 1{1+i}\right) C_k=\frac C n D_1=C\left(1-\frac 1 n\right) D_k=C\left(1-\frac k n\right)

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Da molto tempo una delle questioni più dibattute nell’ambito del contenzioso bancario è quella relativa alla presenza o meno, nei piani di ammortamento c.d. “alla francese”, di anatocismo, ovvero di una capitalizzazione degli interessi sugli interessi che risulta nel nostro ordinamento generalmente vietata ex art. 1283 c.c.

L’articolo che segue nasce da un’esigenza, che è anche una ambizione, ovvero quella di contribuire a fare chiarezza su un argomento da sempre controverso ed intorno al quale, al momento, esiste una confusione, ovvero una “disparità di vedute” sia in Dottrina che Giurisprudenza, che appare per certi versi incomprensibile, data la natura di ordine fondamentalmente matematico della questione.

Sulla questione della presenza o meno di anatocismo insito nei comuni piani di ammortamento c.d. “alla francese” è infatti possibile trovare in rete una pletora di pubblicazioni che giungono a conclusioni contrastanti ed è opinione di chi scrive che con ogni probabilità neanche questo contributo servirà a dirimere ogni dubbio ma è lecito provarci.

Cominciamo quindi col rammentare che la capitalizzazione degli interessi è nel nostro ordinamento in generale vietata ex art. 1283 c.c. e risulta invece consentita da una deroga normativa posta dall’art. 120 – Decorrenza delle valute e calcolo degli interessi – del T.u.b. (D.lgs. n.385/93) come da ultimo modificato dal D.l. 14 febbraio 2016 n.18 ma per i soli conti correnti. Infatti il punto b) comma 2 della norma citata testualmente recita he:

[…]gli interessi debitori maturati, ivi compresi quelli relativi a finanziamenti a valere su carte di credito, non possono produrre interessi ulteriori, salvo quelli di mora, e sono calcolati esclusivamente sulla sorte capitale[…]

e questo del resto in conformità a quanto prescritto dai principi generali fissati dall’art. 1194 c.c., nonché dall’art. 1234 c.c. e dall’art. 1284 c.c.

Con riferimento invece ai soli rapporti di conto corrente o di conto di pagamento, l’articolo in commento demanda le disposizioni ad apposita Delibera del CICR, che è stata emanata in data 3 agosto 2016 (https://www.verifichefinanziamenti.it/wp-content/uploads/DM_343_Anatocismo.pdf)

Attualmente quindi permane, senza ordine di incertezza alcuna, un “divieto di capitalizzazione degli interessi” sulle operazioni di credito diverse dall’apertura di credito in conto corrente, così come nella formulazioni precedenti della norma citata. Una eccezione è costituita dagli interessi di mora che si applicano sulle rate di rimborso scadute (e non pagate) di un finanziamento le quali, come noto, applicandosi su una rata costituita sia da capitale che da interessi, realizzano un anatocismo, ovvero una capitalizzazione degli interessi (di mora appunto) sugli interessi (corrispettivi insiti in ciascuna rata).

Quanto sopra ci servirà quindi per fissare il postulato fondamentale su cui costruire tutto il ragionamento logico deduttivo necessario per arrivare alla risposta alla domanda che segue.

IL PIANO DI AMMORTAMENTO A RATA COSTANTE, C.D. “ALLA FRANCESE”, REALIZZA UNA CAPITALIZZAZIONE DEGLI INTERESSI SUGLI INTERESSI?

Per rispondere in maniera corretta e non arbitraria a questa domanda, bisogna innanzitutto approfondire la struttura tecnico attuariale, ovvero gli algoritmi di calcolo, con cui sono costruite le rate di rimborso del prestito e successivamente verificare se tale tecnica realizzi o meno anatocismo, ovvero se le rate di rimborso del prestito così determinate incorporino o meno “interessi calcolati sugli interessi”.

Successivamente bisogna cercare di capire se, alla luce dei risultati – di per sé non discutibili perché inerenti il piano strettamente matematico finanziario – vi sia o meno una violazione delle norme sopra citate, ovvero se si realizzi o meno “anatocismo” in un siffatto piano di ammortamento ed in ogni caso se, pur in difetto di questo, i piani di ammortamento realizzati con siffatta tecnica contengano o meno un “costo occulto” non esplicitato in contratto attraverso la mera indicazione del tasso d’interesse applicato ovvero se sussista o meno una violazione della normativa sulla trasparenza bancaria.

A tal fine, come ultimo passo, servirà dimostrare che esiste eventualmente un metodo di calcolo delle rate di rimborso alternativo a quello normalmente utilizzato dagli Intermediari finanziari e dallo stesso Stato (si pensi ai piani di rimborso delle obbligazioni tributarie proposti da Equitalia, oggi Agenzia per la Riscossione) che escluda l’anatocismo o che, in ogni caso, non incorpori un “costo occulto” per il debitore non esplicitato in contratto.

Si avverte fin d’ora il lettore che non è possibile comprendere tutto il filo logico delle argomentazioni qui svolte senza un adeguato approfondimento della parte di matematica finanziaria sottostante in quanto è questa e solo questa – che fornisce i risultati obiettivi su cui fondare eventuali giudizi che interessino il piano squisitamente giuridico, allo stesso modo in cui non è in alcun modo possibile giudicare sulla liceità o meno di un farmaco o di una sostanza, senza una approfondita conoscenza della sua struttura chimica.

Ci rendiamo conto che tale circostanza può essere in alcuni casi di impedimento per il lettore che non possieda un particolare feeling con la matematica finanziaria ma in tal caso sarebbe opportuno astenersi da giudizi in merito, ovvero rispondere “non lo so” alla domanda sopra posta, piuttosto che rispondere con un “Si” o un “No” fondati su mere presunzioni, perché fin quando la risposta resta nell’ambito della sfera privata nessun problema si pone ma quando si viene incaricati di rispondere a tale domanda nell’ambito di un procedimento giudiziario, in veste di Organo giudicante o di Consulente Tecnico d’Ufficio, ovvero in qualità di “pubblico ufficiale”, allora il reato di “falso ideologico” di cui agli art.479 e ss. del cod. pen. è dietro l’angolo.

ALLA RADICE DEL PROBLEMA: DEFINIRE L’EQUIVALENZA FINANZIARIA TRA IMPORTI DIVERSI DISPONIBILI IN EPOCHE DIVERSE.

La matematica finanziaria, senza la conoscenza della quale chiunque tenti di rispondere alla domanda iniziale commette un sostanziale arbitrio intellettuale, così come d’altra parte farebbe chiunque volesse stabilire se l’accelerazione di un corpo in movimento in un determinato sistema di riferimento sia costante o meno senza conoscere le leggi della fisica, ha lo scopo principale di stabilire l’equivalenza finanziaria di importi diversi, disponibili in epoche diverse e lo fa definendo due principali operazioni: l’operazione di capitalizzazione e l’operazione di attualizzazione.

A tal fine si parte dalla definizione dei concetti elementari di capitale, interesse e tasso d’interesse e si finisce con il definire delle “leggi matematiche”, ovvero dei modelli matematici che descrivono il processo di “generazione degli interessi” e del correlato processo di “accumulazione di capitale” in maniera del tutto analoga ai modelli matematici utilizzati per le leggi della fisica che descrivono lo spostamento di un corpo nel tempo, descrivendone accelerazione, velocità e posizione nello spazio: il fatto che leggi della fisica siano dipendenti da “fenomeni reali” mentre quelle della matematica finanziaria da “fenomeni artificiali” o economici, ovvero creati (immaginati per meglio dire) dall’uomo secondo convenzioni più o meno universalmente accettate, non cambia la sostanza delle cose: senza una conoscenza approfondita dei modelli matematici sottostanti i fenomeni oggetto d’indagine, bisognerebbe astenersi dal giudicare.

LE OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE

Nella valutazione di una operazione finanziaria assume particolare rilievo la necessità di determinare, per il debitore, il costo del finanziamento (che per il creditore rappresenterà specularmente il guadagno) sia in termini assoluti che relativi (percentuali). A tal proposito valgono le seguenti definizioni.

  1. Interesse. Data una somma C (capitale) ottenuta in prestito ed una somma M (montante) da restituire alla scadenza, T risulta in genere M>CSi definisce allora interesse la differenza seguente: 

                                     I=M-C                                         (1.0)

  2. Tasso d’interesse. Per permettere di effettuare confronti tra importi (C ed M) di diverso ammontare, si definisce il tasso d’interesse, costituito dal rapporto tra l’ammontare totale degli interessi da corrispondere ed il capitale ottenuto in prestito: i=\frac{M-C} C=\frac I C                    (1.1)

  3. Tasso d’interesse effettivo periodale. Generalmente la restituzione del capitale C maggiorato degli interessi, ovvero la corresponsione di M, avviene in un’epoca t_n diversa da quella in cui si ottiene il prestito, t_k, con t_n>t_kIl numero fornito dalla (1.1) quando riferito esplicitamente al periodo t_n-t_k prende il nome di tasso d’interesse effettivo periodale. Il numero i\left(t_k,t_n\right) rappresenta allora il tasso d’interesse effettivo prodotto da ogni unità di capitale investito C, tra le epoche t_n e t_k 

    Per convenzione e per permettere il confronto tra operazioni di diverso ammontare attuate in epoche diverse, il tasso d’interesse effettivo è riferito in genere all’anno (tasso d’interesse effettivo annuo) o a frazioni intere dello stesso (semestre, trimestre, bimestre, mese).

Spesso ci si concentra sul fenomeno della capitalizzazione degli interessi, ovvero conoscere il valore futuro M (il montante), ad una certa epoca t_n>t_{n-1}>t_k\ldots >t_0 che assumerà una certa somma C (il capitale) impiegata ad un certo tasso i per un certo periodo t_n - t_0dimenticando che specularmente in finanza si pone il problema inverso, ovvero conoscere il valore attuale, cioè il valore al tempo iniziale t_0 o ad una epoca qualsiasi <t_{k-1}<t_k\ldots <t_n[=”” latex]=”” e <t_{k-1}<t_k\ldots=”” <t_n="" di="" una="" somma="" pari="" a="" c="" in="" [latex]t_0[="" latex],="" il="" cui ="" impiego="" al="" tasso="" i="" nell'intervallo="" tempo [latex]t_n-t_0[="" genererà="" montante="" m="" disponibile="" all'epoca="" [latex]t_n[="" e <span="" style="font-family: Liberation Serif, serif;">che tali operazioni devono essere “reversibili”, ovvero deve essere sempre possibile, noto il tasso d’interesse ed i tempi di valutazione, conoscere C a partire da M e viceversa. </t_{k-1}<t_k\ldots></span></span></p> <p style="text-align: center;" align="justify"><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;"><strong>L'OPERAZIONE DI CAPITALIZZAZIONE</strong></span></span></p> <p align="justify"><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: Liberation Serif, serif;">Con l’operazione di <strong><em>capitalizzazione</em></strong>, dato un certo capitale C, disponibile in [latex]t_0 ed impiegato per un certo periodo di tempo ad un certo tasso d’interesse, si vuole stabilire qual è l’importo, detto Montante ed in indicato con M, disponibile all’epoca t_1>t_0, che risulta finanziariamente equivalente al capitale C. A tal fine si definisce una funzione matematica che si suole indicare con la lettera “r” e prende il nome di “funzione fattore di capitalizzazione”. Tale funzione deve godere di alcune proprietà matematiche che vedremo più avanti.

L'OPERAZIONE DI ATTUALIZZAZIONE

Con l’operazione di attualizzazione si esegue l’operazione inversa, ovvero noto un certo importo M, disponibile in t_1si vuole conoscere qual è il valore del Capitale C, da impiegare nel periodo t_1-t_0 ad un certo tasso d'interesse i, che genererà l'importo M. A tal fine si definisce una funzione matematica che si suole indicare con la lettera “v”, che è l’inversa di r e prende il nome di “funzione fattore di attualizzazione”: anche tale funzione deve godere di alcune proprietà matematiche che vedremo più avanti.

I REGIMI FINANZIARI

Da quanto sopra dovrebbe essere chiaro lo scopo della matematica finanziaria, che è quello di definire le regole matematiche attraverso cui avviene l’incremento del capitale C al tasso i\left(t_k,t_n\right) durante il periodo t_n-t_k. Tale incremento avviene (deve avvenire) infatti secondo delle regole precise che, matematicamente parlando, è possibile esplicitare attraverso la definizione di una funzione che prende il nome di “fattore di capitalizzazione”, (o fattore di montante),

  1. Fattore di capitalizzazione e montante. E' la funzione definita attraverso il seguente schema:
    i\left(t_k,t_n\right)=\frac{M-C} C=\frac M C-1=r\left(t_k,t_n\right)-1                                                       (1.3)
    Dalla 1.3 è quindi esplicitare la funzione:r\left(t_k,t_n\right)=1+i\left(t_k,t_n\right)                          (1.4)
    La 1.4 definisce in generale la "legge di capitalizzazione" o la “funzione fattore di capitalizzazione” o “fattore di montante”. Sicché, risulta che il capitale C s’incrementa nel periodo t_n-t_k secondo la seguente legge:

                  M=Cr\left(t_k,t_n\right)                                  (1.5)

  1. Fattore di sconto e valore attuale. A partire dalla 1.5 è possibile risolvere il problema inverso, ovvero conoscere il valore del capitale C, che, impiegato all’epoca al tasso i ha generato il montante M all’epoca . In tal caso si definisce quindi il valore attuale di M (che all’epoca è pari a C), attraverso la seguente relazione:
    C=M\frac1{r\left(t_n,t_k\right)}

    Specularmente alla 1.4 si definisce quindi la funzione fattore di sconto, che attraverso la 1.5 risulta definita dalla seguente relazione:

    v\left(t_k,t_n\right)=\frac 1{r\left(t_n,t_k\right)}=\frac1{1+i\left(t_k,t_n\right)}

Definite le funzioni fattori di capitalizzazione (1.4) e fattori di sconto (1.7) a livello generale, resta ora da esplicitarne le principali proprietà matematiche. In generale esistono numerose funzioni definibili attraverso le 1.3 ed 1.6. Ogni classe di funzioni così definita prende il nome di regime di capitalizzazione. Per una disamina di queste problematiche, si rimanda ad una qualsiasi testo di matematica finanziaria almeno di livello universitario. Per ciò che qui interessa invece, si analizzeranno i due “regimi di capitalizzazione”, più utilizzati nella pratica finanziaria e commerciale: il regime d’interesse composto (RIC) ed il regime dell’interesse semplice (RIS).

IL REGIME DELL'INTERESSE SEMPLICE

Si ipotizzi che, su una determinata somma prestata C, vengano periodicamente corrisposti degli interessi senza però che questi ultimi vengano a loro volta re-investiti nel periodo di tempo t_n-t_k. In tal caso avremo definito una legge di capitalizzazione detta “regime dell’interesse semplice”, ovvero una funzione 1.3 così definita

r\left(t_k,t_n\right)=1+i\left(t_k,t_n\right)=1+i(t)

IL REGIME DELL'INTERESSE COMPOSTO

Si ipotizzi ora una serie di scadenze intermedie con i\left(t_k,t_n\right)  si ipotizzi che gli interessi via via corrispondenti per ogni scadenza vengano a loro volta re-investiti al medesimo tasso    per cui si avrà una successione definita nel modo seguente:

r\left(t_k,t_n\right)=\left(1+i\left(t_k,t_{k+\tau }\right)\right){\bullet}\left(1+i\left(t_{k+\tau },t_n\right)\right)=\left(1{\text ~}+i\left(t_k,t_n\right)\right)^{t_n-t_k}  (1.9)

Si noti che, ponendo , la 1.8 si può riscrivere come:

r\left(t\right)=\left(1{\text ~}+i\left(t\right)\right)^t(1.10)

ed in tal caso è evidente che essa coincide con la 1.7 solo per periodi unitari, ovvero per mentre in generale risulta \left(1+i\left(t\right)\right)^t>\left(1+i\left(t\right)\right) per Si noti come quella indicata in 1.10 è la funzione di capitalizzazione. La corrispondente funzione valore attuale risulta essere

v\left(t\right)=\left(1+i\left(t\right)\right)^{-t} (1.11)

Si noti come le funzioni rispettivamente 1.7 - 1.10 e 1.8 – 1.11, coincidano per t=1.

REGIMI D’INTERESSE E ANATOCISMO

A questo punto siamo in grado di fissare il primo dei postulati necessari per rispondere alla domanda di partenza e cioè se, a parità di tasso d’interesse i, la scelta di un regime finanziario piuttosto che un altro sia influente o meno ai fini della determinazione finale degli interessi complessivamente dovuti. La risposta, come già matematicamente evidente rispettivamente dalle formule (1.7) ed (1.9) è si. In particolare, è evidente che il regime dell’interesse composto realizza la capitalizzazione continua degli interessi e quindi l’anatocismo.

Questo risultato è evidente dalla tabella e dal grafico sotto riportati, dove si sono calcolati gli interessi maturati su un capitale di €100.000 al tasso annuo nominale del 10,00% in 20 anni:

Tabella 1

Tempo in anni

Tasso d’interesse

Montante maturato in RIC

Montante maturato in RIS

0

10,00%

100.000,00

100.000,00

1

10,00%

110.000,00

110.000,00

2

10,00%

121.000,00

120.000,00

3

10,00%

133.100,00

130.000,00

4

10,00%

146.410,00

140.000,00

5

10,00%

161.051,00

150.000,00

6

10,00%

177.156,10

160.000,00

7

10,00%

194.871,71

170.000,00

8

10,00%

214.358,88

180.000,00

9

10,00%

235.794,77

190.000,00

10

10,00%

259.374,25

200.000,00

11

10,00%

285.311,67

210.000,00

12

10,00%

313.842,84

220.000,00

13

10,00%

345.227,12

230.000,00

14

10,00%

379.749,83

240.000,00

15

10,00%

417.724,82

250.000,00

16

10,00%

459.497,30

260.000,00

17

10,00%

505.447,03

270.000,00

18

10,00%

555.991,73

280.000,00

19

10,00%

611.590,90

290.000,00

20

10,00%

672.749,99

300.000,00

Come si vede dalla tabella sopra riportata, nello stesso arco temporale (20 anni nell’esempio), il montante (capitale e interessi) calcolato secondo il regime composto è più che doppio rispetto agli interessi calcolati in regime semplice. Nel regime dell’interesse composto, gli interessi complessivamente dovuti crescono quindi in maniera esponenziale a causa della capitalizzazione continua degli stessi (cosa già evidente dalla 1.9), mentre nel regime dell’interesse semplice si ha una crescita lineare rispetto al tempo, come evidente dal grafico sottostante.

E' quindi a questo punto lecito fare la seguente affermazione, ovvero porre la seguente tesi: condizione sufficiente affinché vi sia capitalizzazione degli interessi sugli interessi, ovvero “anatocismo” nella sua definizione più neutra, è che per il calcolo degli interessi si utilizzi il regime dell’interesse composto.

Per ragioni che saranno presto chiare, è indispensabile studiare anche le funzioni fattore di sconto, necessarie per risolvere il problema inverso, ovvero dato il montante ad una certa data maturato ad un certo tasso, conoscere il capitale che, impiegato ad un certo tasso i l’ha generato.

Supponiamo quindi di voler sapere qual è il capitale da investire, al tasso del 10% annuo, per ottenere il montante M=100.000,00 fra 20 anni: quello che stiamo cercando è quindi il “valore attuale” di €100.000 e da quanto sopra il lettore accorto intuisce che il suo valore differisce a seconda del regime finanziario che si decide di utilizzare per fare i calcoli.

A tal fine nella tabella che segue si utilizzeranno quindi le due funzioni 1.8 e 1.11, ovvero le funzioni fattore di sconto rispettivamente nel RIS e nel RIC: naturalmente, trattandosi del problema inverso, la scala dei tempi procederà al contrario.

Tabella 2

Tempo in anni

Tasso d’interesse

Valore attuale nel RIC

Valore attuale nel RIS

20

10,00%

100.000,00

100.000,00

19

10,00%

90.909,09

90.909,09

18

10,00%

82.644,63

83.333,33

17

10,00%

75.131,48

76.923,08

16

10,00%

68.301,35

71.428,57

15

10,00%

62.092,13

66.666,67

14

10,00%

56.447,39

62.500,00

13

10,00%

51.315,81

58.823,53

12

10,00%

46.650,74

55.555,56

11

10,00%

42.409,76

52.631,58

10

10,00%

38.554,33

50.000,00

9

10,00%

35.049,39

47.619,05

8

10,00%

31.863,08

45.454,55

7

10,00%

28.966,44

43.478,26

6

10,00%

26.333,13

41.666,67

5

10,00%

23.939,20

40.000,00

4

10,00%

21.762,91

38.461,54

3

10,00%

19.784,47

37.037,04

2

10,00%

17.985,88

35.714,29

1

10,00%

16.350,80

34.482,76

0

10,00%

14.864,36

33.333,33

Dalla Tabella 2 sopra riportata si evince come, a parità di tasso d’interesse annuo nominale, il valore delle somme da impiegare per ottenere la somma finale (il montante) di €100.000,00 in 20 anni è costantemente inferiore nel RIC rispetto al RIS, a parte il primo anno, per cui i due valori coincidono.

Questo fatto può esprimersi in termini più tecnici affermando che il valore attuale delle somme impiegate nel RIC è sempre più basso rispetto al valore attuale delle somme impiegate nel RIS, come si vede meglio anche dal grafico sotto riportato di confronto delle due funzioni valore attuale, rispettivamente nel RIC (formula 1.11) e nel RIS (formula 1.8).

I risultati di cui sopra devono essere tenuti bene a mente in quanto, la chiave di risposta alla domanda principale, è insita proprio in questi risultati.

STRUTTURA TECNICA DI UN PIANO DI AMMORTAMENTO: DEFINIZIONI FONDAMENTALI

In questa parte considereremo il concetto di “prestito” o di “mutuo” e del conseguente piano di rimborso (c.d. “ammortamento”) da un punto di vista squisitamente matematico, tralasciando quindi le correlate definizioni giuridiche.

L’insieme delle specifiche relative ai tempi di rimborso del capitale e al pagamento degli interessi si chiama il piano di rimborso o di ammortamento del prestito. Considerando la situazione standard, lo schema e la terminologia classici sono i seguenti:

      • Un primo soggetto presta ad un secondo soggetto un ammontare di capitale, che indicheremo con S, concordando le modalità di ammortamento del prestito.

      • L’ammortamento avverrà tramite rate (o annualità) Rk, rispettivamente in scadenza ai tempi k = 1, 2, . . . , n.

      • Ogni rata Rk si decomporrà in due diverse quote: Rk = Ck + Ik, rispettivamente dette quote capitale (Ck) e quote interessi (Ik).

      • Alla fine del k-esimo anno, viene calcolato il debito ancora da rimborsare negli anni successivi, il cosiddetto debito residuo (Dk). Ad ogni pagamento di quota capitale Ck, il debito residuo decresce secondo la relazione di ricorrenza:

                                 Dk = Dk−1 − Ck

      • Alla fine del k-esimo anno, si calcola il debito gi`a pagato, il cosiddetto debito estinto (Ek). Ad ogni pagamento di quota capitale Ck, il debito estinto cresce secondo la relazione di ricorrenza:

                                   Ek = Ek−1 + Ck

Si definisce allora mutuo una operazione finanziaria conforme allo schema seguente.

  1. All’epoca t_o un soggetto (mutuante o creditore) cede ad un secondo soggetto (mutuatario o debitore) un importo S (importo del mutuo o prestito), che viene frazionato negli importi non negativi C_1,C_2,\ldots,C_n (quote capitale),  corrisposti alle scadenze fissate  t_o,t_1,\ldots ,t_n  in maniera tale che (condizione di chiusura):

    \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}C_k=S

  1. Attraverso le quote capitale si definisce il debito residuo Dk all’epoca .

, ovvero

D_k=S-\overset k{\underset{i=1}{\sum }}C_i

La quantità: , è detta “debito estinto” all’epoca . Evidentemente, dalla (2.0) e dalla (2.1) discendono le relazioni:

  1. Sulla somma ottenuta in prestito il mutuatario deve corrispondere degli interessi, maturati per ogni scadenza sul debito residuo ad un determinato tasso i che per convenzione viene espresso in ragione d’anno e che per tale ragione è detto anche TAN (tasso annuo nominale). Per pagamenti frazionati rispetto all’anno (semestrali, trimestrali, mensili etc.) il tasso d’interesse da prendere in considerazione per il calcolo degli interessi diviene allora pari ad:

i_k=i{\bullet}\frac 1 m (2.2)

dove m indica il numero di periodi in cui è suddiviso l’anno, per cui, in caso di pagamento semestrale, si avrà m=2, per pagamenti mensili m=12, etc.

Ciò comporta che, ad ogni scadenza, il mutuatario debba adempiere due distinte ma correlate obbligazioni, versando al mutuante:

    1. la k-esima quota di capitale ;

    2. la k-esima quota interessi, che riguarda gli interessi maturati sul debito residuo al tasso d’interesse tra le due epoche e .

  1. Pertanto, ad ogni epoca il debitore deve corrispondere al creditore un importo detto “rata di ammortamento” e pari alla somma delle due componenti come sopra determinate, ovvero:

R_k=C_k+I_k (2.3)

Dove risulterà:

I_k=i_{k-1}{\bullet}D_{k-1} (2.4)

Si noti che quella sopra descritta è la struttura matematica di un piano di ammortamento a rate periodiche di carattere generale: si tratta di una struttura matematica valida sia nel regime dell’interesse semplice che nel regime dell’interesse composto.

Nessuna assunzione è stata fatta circa il corretto dimensionamento delle quote capitali, , se non che la loro somma debba essere pari esattamente all’importo mutuato come previsto dalla condizione di chiusura in 2.0. Conseguentemente, date le relazioni sopra riportate, non siamo ancora in grado di calcolare la Rata (costante) in 2.3 e questo perché non conoscendo le quote capitali, non possiamo conoscere i debiti residui per ogni epoca e quindi la quota interessi, da definire mediante la 2.4. Chi non ci crede, provi a costruire un piano di ammortamento a rata costante che realizzi la condizione di chiusura in 2.0, magari aiutandosi con un foglio di calcolo (senza naturalmente l’utilizzo delle funzioni native di calcolo rata messe a disposizione dall’applicazione software) con le sole relazioni sopra date e vedrà ben presto infrangersi le sue illusioni sugli scogli della matematica finanziaria.

In altre parole: le assunzioni matematiche sopra riportate sono solo condizioni necessarie ma non sufficienti per definire in maniera corretta l’importo della rata in 2.3. e tantomeno per definire un importo della rata che sia costante nel tempo, in quanto si tratta di relazioni generali che valgono (rectius che devono valere) sia nel regime dell’interesse composto che nel regime dell’interesse semplice affinché si chiuda il piano di ammortamento.

Il fatto che l’argomentazione principale su cui si fondano la maggior parte delle pronunce che negano l’anatocismo nel piano di ammortamento alla francese si limitino alla verifica della 2.4, la dice lunga sul grado di approssimazione e superficialità con cui normalmente viene affrontata la questione che richiede invece la verifica di tutte le grandezze coinvolte nel piano di ammortamento e questo per una ragione molto semplice: la verifica della 2.4 non è sufficiente per asserire che non vi è anatocismo nel piano di ammortamento alla francese costruito secondo il regime composto in quanto nulla sappiamo sulla reale consistenza della rata (non siamo ancora in grado di calcolarla!) e questo perché non abbiamo ancora esplicitato come si calcolino davvero tutte le quote capitali e quindi come si calcolano i debiti residui , che, insieme al tasso, sono l’altro elemento di calcolo delle quote interessi.

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